费马大定理

　　本片从证实了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看，1994年恰是我在念大学的时候，当时完全没有一位传授在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位真正的研究者，自然而然地会被数学吸引，然而对一位不是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引导他走向更精深的专业认知，而指引的道路，就在科普的精力上。
　　从费玛最后定理的历史中能够发现，有很多研究成果，都是研究人员燃烧热忱，试图提出「有趣」的命题，然后再尝试用逻辑验证。
　　费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解
　　1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这里开始。
　　2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边的平方=另外两边的平方和
　　x2+y2=z2
　　毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数解
　　3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在页边写下了註记
　　「不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高於2次幂，写成两个同样次幂的和。」
　　「对这个命题我有一个十分美好的证实，这里空白太小，写不下。」
　　4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的「丢番图的算数」
　　5. 在Fermat的其他註记中，隐含了对 n=4 的证实 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解
　　莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证实了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解
　　3是质数，现在只要证实费玛最后定理对於所有的质数都成立
　　但 欧基里德 证实「存在无穷多个质数」
　　6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证实了 费玛最后定理 "也许" 无解
　　7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延长热尔曼的证实，证实了 n=5 无解
　　8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证实了 n=7 无解
　　9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证实了 费玛最后定理
　　最后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证实，都因为「虚数没有唯一因子分解性质」而失败
　　库默尔证实了 费玛最后定理的完整证实 是当时数学办法不可能实现的
　　10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证实
　　这表示 费玛最后定理的完整证实 尚未被解决
　　沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证实的人，期限是到2007年9月13日止
　　11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提出数学上23个未解决的问题且信赖这是急切需要解决的重要问题
　　12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理
　　第一不可判定性定理：假如公理集合论是相容的，那么存在既不能证实又不可否定的定理。
　　=> 完全性是不可能到达的
　　第二不可判定性定理：不存在能证实公理系统是相容的构造性过程。
　　=> 相容性永远不可能证实
　　13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 成长了能够检验给定问题是不是不可判定的办法（只适用少数情况）
　　证实希尔伯特23个问题中，其中一个「持续统假设」问题是不可判定的，这对於费玛最后定理来说是一大袭击
　　14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反起色
　　开始有人利用暴力解决办法，要对 费玛最后定理 的n值一个一个加以证实。
　　15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到了一个反例
　　26824404+153656394+1879604=206156734
　　16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲线
　　研究椭圆曲线的目的是要算出他们的整数解，这跟费玛最后定理一样
　　ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2
　　(费玛证实宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方数与一个立方数中间)
　　由於要直接找出椭圆曲线是很艰苦的，为了简化问题，数学家採用「时鐘运算」办法
　　在五格时鐘运算中， 4+2=1
　　椭圆方程式 x3-x2=y2+y
　　所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个解
　　对於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, .....
　　17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同平常的对称性的 modular form 模型式
　　模型式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...）
　　每个模型式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的典范
　　1955年9月 提出模型式的 M序列 能够对应到椭圆曲线的 E序列，两个不同领域的理论忽然被连接在一起
　　安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」
　　18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画，一个统一化猜想的理论，并开始寻找统一的环链
　　19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出
　　(1) 假设费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式
　　(2) 弗赖椭圆方程式太怪僻了，以致於无法被模型式化
　　(3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都能够被模型式化
　　(4) 谷山-志村猜想 是错误的
　　反过来说
　　(1) 假如 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭圆方程式都能够被模型式化
　　(2) 每一个椭圆方程式都能够被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式
　　(3) 假如不存在弗赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解
　　(4) 费玛最后定理是对的
　　20.1986年 肯‧贝里特 证实 弗赖椭圆方程式无法被模型式化
　　假如有人能够证实谷山-志村猜想，就表示费玛最后定理也是正确的
　　21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇小论文，然后自己独力尝试证实谷山-志村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列
　　22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几何学证实谷山-志村猜想，但结果失败
　　23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成无穷多项，然后也证实了第一项必定是模型式的第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败
　　24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 办法，对所有分类后的椭圆方程式都奏效
　　25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验证证实
　　26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证实
　　27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺点
　　安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独力解决缺点，他不希望在这时候公布证实，让其他人分享完成证实的甜美果实
　　28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助
　　29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 办法就能够完全解决问题
　　30.「谷山-志村猜想」被证实了，故得证「费玛最后定理」
　　ii
　　费马大定理
　　300多年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。
　　费马宣称他发现了这个定理的一个真正奥妙的证实，但因书上空白太小，他写不下他的证实。300多年过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁妄图证实它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的定理—费马大定理。
　　费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真留意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创建了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论的摸索者之一。费马特别爱好数论，提出了很多定理，但费马只对其中一个定理给出了证实要点，其他定理除一个被证实是错的，一个未被证实外，其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证实的定理就是上面所说的费马大定理，因为是最后一个未被证实对或错的定理，所以又称为费马最后定理。
　　费马大定理虽然至今仍没有完全被证实，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证实了对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年青的德国数学家法尔廷斯证实了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证实了费马大定理，但随后发现了证实中的一个马脚并作了修正。虽然威尔斯证实费马大定理还没有获得数学界的一致公认，但大多半数学家认为他证实的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。
　　为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯传授经过8年的孤军奋战，用13
　　0页长的篇幅证实了费马大定理。怀尔斯成为全部数学界的英雄。
　　费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达
　　哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，
　　斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在
　　研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n
　　大于2时，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的接近问题8的页边处记下这
　　个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美好的证法，这里的空
　　白太小，写不下。”这就是数学史上着名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了
　　一个数学史上最深奥的谜。
　　大问题
　　在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题能够论述得如此简单和清晰，却长久不
　　解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到，
　　文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证实费马大定理成为数论中最
　　值得为之奋斗的事。
　　安德鲁·怀尔斯1953年出身在英国剑桥，父亲是一位工程学传授。少年时代的怀尔斯
　　已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，
　　编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。
　　”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解答
　　,怀尔斯被吸引住了。
　　这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它论述了费马大定理的历史，这个定理让一个又
　　一个的数学家望而生畏，在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆
　　起被引向费马大定理时的感到：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解
　　决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能懂得的问题，从那个时刻起，我知道我永
　　远不会放弃它。我必须解决它。”
　　怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare
　　学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能
　　带来的问题是：你花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate
　　s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同事
　　告诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学生，他催促我收其
　　为学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的
　　思想，非常清晰他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研究生在那个阶段直接开始研
　　究费马大定理是不可能的，即使对资格很深的数学家来说，它也太艰苦了。”科茨的义务
　　是为怀尔斯找到某种至少能使他在往后三年里有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究
　　生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它必定
　　是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事是使用他
　　的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能在这个方向上有多大成就就是他自己的事了。
　　”
　　科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的
　　一个转折点，椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。
　　孤单的战士
　　1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学
　　的传授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一
　　个着名的数论学家，但他清晰地意识到，即使以他渊博的基础知识和数学修养，证实费马
　　大定理的任务也是极为艰苦的。
　　在怀尔斯的费马大定理的证实中，核心是证实“谷山－志村猜想”，该猜想在两个非
　　常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋
　　友家中啜饮冰茶。谈话间他随便告诉我，肯·里贝特已经证实了谷山－志村猜想与费马大
　　定理间的联系。我认为极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命过程的时刻，因为
　　这意味着为了证实费马大定理，我必须做的一切就是证实谷山－志村猜想……我十分清晰
　　我应该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。
　　20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证实费马大定理，他
　　答复说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我没有那么多的时间
　　糟蹋在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证实，他必须全身心地投入到
　　这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。
　　怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费
　　马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中
　　，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有
　　与证实费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工作，在家里的顶
　　楼书房里他开始了通过谷山－志村猜想来证实费马大定理的战斗。
　　这是一场长达7年的持久战，这期间只有他的老婆知道他在证实费马大定理。
　　欢呼与等待
　　经过7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证实。作为一个结果，他也证实了
　　费马大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会议要在剑桥大
　　学的牛顿研究所举办。怀尔斯决定利用这个机会向一群出色的听众宣布他的工作。他选择
　　在牛顿研究所宣布的另外一个重要原因是剑桥是他的故乡，他曾经是那里的一名研究生。
　　1993年6月23日，牛顿研究所举办了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆
　　听了这一演讲，但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达
　　的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安
　　德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风
　　声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯
　　定事先就预备了一瓶香槟酒。当我宣读证实时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完
　　费马大定理的证实时，我说：‘我想我就在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的拍手声
　　。”
　　《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，长远的数学之谜获解》为题报道
　　费马大定理被证实的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最着名的数学家，也是唯一的数
　　学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创
　　意的赞赏来自一家国际制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模
　　特。
　　当怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真查对这个证实的工作也在进行。科学的程序要
　　求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个刊物的编辑将它送交一组审
　　稿人，审稿人的职责是进行逐行的审查证实。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个
　　夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能获得他们的祝福。可是，证实的一个缺点被发
　　现了。
　　我的心灵归于平静
　　由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学办法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定
　　2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证实被分成6章，每位审稿人负责其中一章。
　　怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信这
　　些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了
　　证实中的一个小缺点。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证实他的办法中的每一步都
　　行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了
　　，错误仍未改正，怀尔斯面对绝境，他预备认可失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情
　　况，萨克向他暗示艰苦的一部分在于他缺乏一个能够和他讨论问题并且可信赖的人。经过
　　长时间的推敲后，怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作
　　。
　　泰勒1994年1月份到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们预备放弃了。泰勒
　　鼓励他们再保持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个礼拜一的早
　　晨，怀尔斯发现了问题的谜底，他论述了这一时刻：“忽然间，不可思议地，我有了一个
　　难以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻，我不会再有这样的经历……它的美是如
　　此地难以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢信赖。然后白天我
　　到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。”
　　这是少年时代的梦想和8年潜心努力的最终，怀尔斯终于向世界证实了他的才能。世
　　界不再怀疑这一次的证实了。这两篇论文总共有130页，是历史上核查得最彻底的数学稿
　　件，它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版
　　上，标题是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个最
　　终的证实可与决裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证实是人类智力活动的一
　　曲凯歌，同时，不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来，安
　　德鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。”
　　声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖，199
　　6年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士。
　　怀尔斯说：“……再没有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如
　　此少有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的摸索已经结束了，
　　我的心已归于平静。”
　　费马大定理只有在相对数学理论的建立之后，才会获得最满意的谜底。相对数学理论没有完成之前，谈这个问题是无力地.因为人们对数量和自身的熟悉，还没有到达必定的高度.
　　iii
　　费马大定理与怀尔斯的因果律-美国公众广播网对怀尔斯的专访
　　358年的难解之谜
　　数学爱好者费马提出的这个问题非常简单，它用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这本书接近问题8的页边处写下了这段文字：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信已发现一个美好的证法，但这里的空白太小，写不下。”费马习惯在页边写下猜想，费马大定理是其中困扰数学家们时间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理）——公认为有史以来最着名的数学猜想。
　　在畅销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的长达358年的猎逐充斥了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先后涉及到最多产的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余转为职业数学家的柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼实验大师库默尔和被誉为“法国历史上知识最为精深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神秘自杀、德国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔最后一刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥间上帝导演的巨大戏剧中的一幕，为最后谜底的解开埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底，把这出戏推向高潮并戛然而止，留下一段耐人回味的传奇。
　　对怀尔斯而言，证实费马大定理不仅是破译一个难解之谜，更是去实现一个儿时的梦想。“我10岁时在图书馆找到一本数学书，告诉我有这么一个问题，300多年前就已经有人解决了它，但却没有人看到过它的证实，也无人确信是否有这个证实，从那以后，人们就不断地求证。这是一个10岁小孩就能明白的问题，然后历史上诸多伟大的数学家们却不能解答。于是从那时起，我就试过解决它，这个问题就是费马大定理。”
　　怀尔斯于1970年先后在牛津大学和剑桥大学获得数学学士和数学博士学位。“我进入剑桥时，我真正把费马大定理搁在一边了。这不是因为我忘了它，而是我熟悉到我们所控制的用来攻克它的全部技巧已经反复使用了130年。而这些技巧似乎没有触及问题根本。”因为担心消耗太多时间而一无所获，他“暂时放下了”对费马大定理的思考，开始研究椭圆曲线理论——这个看似与证实费马大定理不相关的理论后来却成为他实现梦想的工具。
　　时间回溯至20世纪60年代，普林斯顿数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所有重要数学领域之间原本就存在着的统一的链接。假如这个猜想被证实，意味着在某个数学领域中无法解答的任何问题都有可能通过这种链接被转换成另一个领域中相应的问题——能够被一整套新筹划解决的问题。而假如在另一个领域内仍然难以找到谜底，那么能够把问题再转换到下一个数学领域中……直到它被解决为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能够解决曾经是最深奥最难对付的问题——“办法是领着这些问题漫游数学王国的各个风景胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备定理袭击的费马大定理证实者们指明了救赎之路——根据不完备定理，费马大定理是不可证实的。
　　怀尔斯后来恰是依附于这个纲领才得以证实费马大定理的：他的证实——不同于任何前人的尝试——是现代数学诸多分支（椭圆曲线论，模形式理论，伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结果。20世纪50年代由两位日本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两个截然不同的数学岛屿间隐蔽着一座沟通的桥梁。随后在1984年，德国数学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费马大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证实。从此，费马大定理不可摆脱地与谷山—志村猜想链接在一起：假如有人能证实谷山—志村猜想（即“每一个椭圆方程都能够模形式化”），那么就证实了费马大定理。
　　“人类智力活动的一曲凯歌”
　　怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名数学家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我经常奇怪怀尔斯在做些什么？……他老是静静静的，也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感慨到：“一点暗示都没有！”对于此次惊天“大预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在如此长的时间里没有泄漏任何有关工作的信息。这是空前的。
　　1993年晚春，在经过反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯终于完成了谷山—志村猜想的证实。作为一个结果，他也证实了费马大定理。彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚我失眠了”。
　　同年6月，怀尔斯决定在剑桥大学的大型系列讲座上宣布这一证实。 “讲座氛围很热烈，有很多半学界重要人物到场，当大家终于明白已经离证实费马大定理一步之遥时，空气中充斥了紧张。” 肯·里比特回忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到过如此出色的讲座，充斥了美好的、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的铺垫，充斥悬念，直到最后到达高潮。”当怀尔斯在讲座结尾宣布他证实了费马大定理时，他成了全世界媒体的焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”长远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证实的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上唯一的数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。
　　与此同时，认真查对这个证实的工作也在进行。遗憾的是，如同这之前的“费马大定理终结者”一样，他的证实是有缺点的。怀尔斯现在不得不在巨大的压力之下修正错误，其间数度认为绝望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈中说: “当时我们其他人（怀尔斯的同事）的行为有点像‘苏联政体研究者’，都想知道他的想法和修正错误的进展，但没有人开口问他。所以，某人会说，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但看起来并不愉快。’”
　　撑到1994年9月时，怀尔斯预备放弃了。但他暂时邀请的研究搭档泰勒鼓励他再保持一个月。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个礼拜一的早晨，怀尔斯发现了问题的谜底，他论述了这一时刻：“忽然间，不可思议地，我发现了它……它美得难以形容，简单而优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在那里——它确实还在那里。”
　　怀尔斯的证实为他赢得了最大方的褒扬，其中最具代表性的是他在剑桥时的导师、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证实）是人类智力活动的一曲凯歌”。
　　一场旷日持久的猎逐就此结束，从此费马大定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提到一个就不得不提到另外一个。这是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。
　　历时八年的最终证实
　　在怀尔斯不多的接收媒体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访相当出色有趣，本文节选部分以飨读者。
　　七年孤单
　　NOVA：通常人们通过团队来获得工作上的支撑，那么当你碰壁时是怎么解决问题的呢？
　　怀尔斯：当我被卡住时我会沿着湖边散散步，散步的好处是使你会处于放松状况，同时你的潜意识却在继续工作。通常遇到困扰时你并不需要书桌，并且我随时把笔纸带上，一旦有好主意我会找个长椅坐下来打草稿……
　　NOVA：这七年必定交错着自我怀疑与成功……你不可能绝对有把握证实。
　　怀尔斯：我确实信赖自己在正确的轨道上，但那并不意味着我必定能到达目标——也许仅仅因为解决难题的办法超越现有的数学，也许我需要的办法下个世纪也不会出现。所以即便我在正确的轨道上，我却可能生活在错误的世纪。
　　NOVA：最终在1993年，你取得了冲破。
　　怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去了。我坐在书桌前思考最后的步骤，不经意间看到了一篇论文，上面的一行字引起了我的留意。它提到了一个19世纪的数学结构，我刹那意识到这就是我该用的。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下午三四点时我确信已经证实了费马大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为我这时才回家，我告诉她，我解决了费马大定理。
　　最后的修正
　　NOVA：《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，长远的数学之谜获解》，但他们并不知道这个证实中有个错误。
　　怀尔斯：那是个存在于关键推导中的错误，但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语言描述，就算是数学家也需要研习两三个月才能弄懂。
　　NOVA：后来你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最后的错误。问题是，你的证实和费马的证实是同一个吗？
　　怀尔斯：不可能。这个证实有150页长，用的是20世纪的办法，在费马时代还不存在。
　　NOVA：那就是说费马的最初证实还在某个未被发现的角落？
　　怀尔斯：我不信赖他有证实。我认为他说已经找到解答了是在哄自己。这个难题对业余爱好者如此特别在于它可能被17世纪的数学证实，尽管可能性极其微小。
　　NOVA：所以也许还有数学家追寻这最初的证实。你该怎么办呢？
　　怀尔斯：对我来说都一样，费马是我童年的热望。我会再试其他问题……证实了它我有一丝伤感，它已经和我们一起这么久了……人们对我说“你把我的问题夺走了”，我能带给他们其他的东西吗？我感到到有义务。我希望通过解决这个问题带来的高兴能够鼓励青年数学家们解决其他许很多多的难题。
　　iv
　　谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几何的对象)和模形式(某种数论中用到的周期性全纯函数)之间的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而来,定理的证实是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成.
　　若p是一个质数而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线，我们能够简化定义E的方程模p;除了有限个p值，我们会获得有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后推敲如下序列
　　ap = np − p,
　　这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式获得的序列雷同的椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村定说:
　　"所有Q上的椭圆曲线是模的"。
　　该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村五郎一起改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了起来，并是关键的构成部分。猜想由André Weil于1970年代从新提起并获得推广，Weil的名字有一段时间和它联系在一起。尽管有明显的用处，这个问题的深度在后来的成长之前并未被人们所感到到。
　　在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着费马最后定理的时候，它吸引到了不少留意力。他通过试图表明费尔马大定理的任何典范会导致一个非模的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证实了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证实了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的情况)，这个特殊情况足以证实费尔马大定理。
　　完整的证实最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一块的逐步证实剩下的情况直到全部完成。
　　数论中类似于费尔马最后定理得几个定理能够从谷山-志村定理获得。例如:没有立方能够写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知)
　　在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都没有完成赐与他们这个成就的定理的完整形式，他们还是被认为对最终完成的证实有着决定性影响。